Логика — это наука о законах и формах мышления.
Математическая логика — наука о применении математических методов для решения логических задач.
Все цифровые вычислительные устройства построены на элементах, которые выполняют те или иные логические операции. Одни элементы обеспечивают переработку двоичных символов, представляющих цифровую или иную информацию, другие — коммутацию каналов, по которым передается информация, наконец, третьи — управление, активизируя различные действия и реализуя условия их выполнения.
Электрические сигналы, действующие на входах и выходах названных элементов, имеют, как правило, два различных уровня и, следовательно, могут быть представлены двоичными символами, например 1 или 0. Условимся обозначать свершение какого-либо события (например, наличие высокого уровня напряжения в какой-либо точке схемы) символом 1. Этот символ называют логической единицей. Отсутствие какого-либо события обозначим символом 0, называемым логическим нулем.
Принято считать, что логическому нулю соответствует низкий уровень напряжения, а логической единице — высокий.
Таким образом, каждому сигналу на входе или выходе двоичного элемента ставится в соответствие логическая переменная, которая может принимать лишь два значения: состояние логической единицы (событие истинно) и состояние логического нуля (событие ложно). Эти переменные называют булевыми по имени английского математика Дж. Буля, который еще в девятнадцатом столетии разработал основные положения математической логики. Обозначим логическую переменную символом х.
Различные логические переменные могут быть связаны функциональными зависимостями. Например, выражение у = f (x1, х2) указывает на функциональную зависимость логической переменной у от логических переменных х1 и х2, называемых аргументами или входными переменными.
Любую логическую функцию всегда можно представить в виде совокупности простейших логических операций. К таким операциям относятся:
- отрицание (операция «НЕ»);
- логическое умножение (конъюнкция, операция «И»);
- логическое сложение (дизъюнкция, операция «ИЛИ»).
Отрицание (операция «НЕ») - это такая логическая связь между входной логической переменной х и выходной логической переменной у, при которой у истинно только тогда, когда х ложно, и, наоборот, у ложно только тогда, когда истинно х. Изобразим данную функциональную зависимость в виде таблицы 1.1, которая называется таблицей истинности.
Таблица истинности - это таблица, отображающая соответствие всех возможных комбинаций значений двоичных аргументов значениям логической функции.
Таблица 1.1- Таблица истинности операции «НЕ»
x y
0 1
1 0
Логическая функция НЕ переменной у записывается как у = x (НАД X - ЧЕРТОЧКА. Антон) и читается «у есть не х». Если, например, х - утверждение о наличии сигнала высокого уровня (логической единицы), то y соответствует утверждению о наличии сигнала низкого уровня (логического нуля).
Логическое умножение (конъюнкция, операция «И») - это такая функция, которая истинна только тогда, когда одновременно истинны все умножаемые переменные. Таблица истинности операции логического умножения соответствует таблице 1.2.
Таблица 1.2- Таблица истинности операции логического умножения
х2 х1 y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Операция «И» обозначается точкой (•). Иногда точка подразумевается. Например, операция «И» между двумя переменными х1 и х2 обозначается как у = х1 • х2.
Логическое сложение (дизъюнкция, операция «ИЛИ») – это такая функция, которая ложна только тогда, когда одновременно ложны все слагаемые переменные. Таблица истинности операции логического сложения соответствует таблице 1.3. Операция «ИЛИ» обозначается знаком V. Например, у = x1 V х2.
Таблица 1.3 - Таблица истинности операции логического сложения
х2 х1 y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1